Теория электрической связи (II)


Теория электрической связи - часть 5


Для реализаций случайных процессов X(t) с ограниченной энергией  Ех (нестационарных) по теореме Парсеваля имеем

,

где

 - спектральная плотность энергии реализации x(t).

Усредняя по ансамблю реализаций, получим

 – спектральную плотность энергии случайного процесса X(t) с размерностью

, что соответствует размерности
, если иметь в виду действие X(t) на сопротивлении 1 Ом.

Для стационарных случайных процессов на интервале Т рассмотрим функцию

, имеющую размерность 
. Переходя к пределу  при
, получим спектральную плотность мощности

,                           (4.1)

называемую также энергетическим спектром процесса X(t).

Энергетический спектр стационарного случайного процесса и его корреляционная функция связаны между собой интегральными преобразованиями Фурье, что было строго доказано А.Я. Хинчиным и Н. Винером (теорема Винера-Хинчина)

,                         (4.2)

.                          (4.3)

Рассмотрим нестрогое доказательство этой теоремы с прозрачным смыслом. Исходя из вышеприведенного определения энергетического спектра, имеем

(после замены переменных

)

(после замены усреднения по ансамблю усреднением по времени)

,

что и требовалось доказать.

 

Свойства энергетических спектров случайных процессов

1.

, что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотношения (4.3) вытекает важное следствие для корреляционной функции
 – она является положительно определенной, т.е. имеет неотрицательное преобразование Фурье.

2.

 – четная функция.

.

На этом свойстве основано понятие одностороннего энергетического спектра, существующего только в области положительных частот

.

3.

4.

5. Нормированный энергетический спектр

,

.

 

Примеры энергетических спектров некоторых стационарных СП:

1.     Квазибелый шум  NF(t)

Энергетический спектр такого процесса (

) равномерен в ограниченной полосе частот (–F, +F) (рис. 4.3).

 

Корреляционная функция квазибелого шума имеет вид (рис. 4. 4)




Начало  Назад  Вперед