Эргодическое свойство СП заключается, грубо говоря, в том, что все его реализации «похожи» друг на друга. Отсюда следует возможность получения вышеуказанных характеристик эргодического СП усреднением по времени единственной его реализации x(t), что существенно облегчает построение аппаратуры для их измерений. В частности, функцию корреляции эргодического СП можно вычислить по одной реализации с помощью следующего выражения:
из которого вытекает схема коррелометра, приведенная на рис. 4.2.
4.3. Спектральный анализ случайных процессов
Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье
.
Распространение этого подхода на случайные процессы наталкивается на ряд серьезных проблем:
1.
существует только для функций x(t), удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости
или хотя бы интегрируемости в квадрате
,
т.е. для сигналов с ограниченной энергией. Однако реализации стационарных случайных процессов с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию, так как по определению существуют на бесконечной оси времени и, следовательно, этим требованиям не отвечают. Эту трудность можно обойти, если рассматривать отношение спектральной функции
к длительности сигнала Т. Тогда достаточным будет требование ограниченной мощности сигнала x(t)
.
2. Спектральная функция
характеризует отдельные реализации x(t) случайного процесса X(t), а не сам процесс целиком. Попытка перейти, как обычно, к усреднению по ансамблю оказывается несостоятельной. Действительно, если определить математическое ожидание случайной спектральной функции
,
где
- амплитудный, а
- фазовый спектры случайного процесса X(t), то для независимых
и
при равномерном распределении
в интервале
получим нулевой результат усреднения для ненулевых процессов.
Выход из этой ситуации состоит в отбрасывании фазового и усреднении только амплитудного спектра
или
.
Содержание Назад Вперед
