Случайные процессы называют стационарными в широком смысле, если выполняются следующие условия:
Очевидно, что стационарность СП в узком смысле влечет его стационарность в широком смысле, но не наоборот.
Некоторые свойства корреляционной функции СП:
1.
2.
Доказательство:
откуда следует вышеуказанное неравенство
3. Корреляционная функция характеризует статистическую связь сечений СП (внутри процесса). Если связи между сечениями
Доказательство:
Отсутствие связи влечет отсутствие корреляции, но не наоборот. Обратное утверждение справедливо лишь в случае нормального (гауссовского) процесса.
Нормальным называют СП, у которого одномерная плотность вероятности имеет вид
где
а любая n-мерная плотность вероятности описывается выражением
где An, cij, ai, aj – константы, определяемые выбором сечений t1,t2,,,tn.
4. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной
Доказательство:
Подставляя
5. Чтобы абстрагироваться от дисперсии и учитывать только связи внутри СП удобно пользоваться нормированной функцией корреляции (коэффициентом корреляции)
Очевидно, что
6. Интервал корреляции – грубую числовую оценку связи внутри СП – чаще всего определяют методом равновеликого прямоугольника
7. Взаимная корреляционная функция двух процессов X(t) и Y(t)
8. Корреляционная функция суммы независимых случайных процессов
Доказательство:
- постоянную составляющую СП,
- переменную составляющую СП,
- мощность переменной состав-
ляющей СП.
Нетрудно видеть, что эти характеристики являются случайными величинами, не зависящими от времени.