в узком смысле влечет его

.

Случайные процессы называют стационарными в широком смысле, если выполняются следующие условия:

 ,

,

, где ? = t2 – t1

Очевидно, что стационарность СП в узком смысле влечет его стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Некоторые свойства корреляционной функции СП:

1.

2.

Доказательство:



,

        откуда следует вышеуказанное неравенство

3. Корреляционная функция характеризует статистическую связь сечений СП (внутри процесса). Если связи между сечениями  и  нет (сечения статистически независимы), то .

         Доказательство:





.

Отсутствие связи влечет отсутствие корреляции, но не наоборот. Обратное утверждение справедливо лишь в случае нормального (гауссовского) процесса.

Нормальным называют СП, у которого одномерная плотность вероятности имеет вид

,

где , ,

а любая n-мерная плотность вероятности описывается выражением

,

где An, cij, ai, aj – константы, определяемые выбором сечений t1,t2,,,tn.

4. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной .

Доказательство:

.

Подставляя , получим

.

5. Чтобы абстрагироваться от дисперсии и учитывать только связи внутри СП удобно пользоваться нормированной функцией корреляции (коэффициентом корреляции)

.

Очевидно, что .

6. Интервал корреляции – грубую числовую оценку связи внутри СП – чаще всего определяют методом равновеликого прямоугольника

.

7. Взаимная корреляционная функция двух процессов X(t) и Y(t)



.

8. Корреляционная функция суммы независимых случайных процессов  есть сумма корреляционных функций каждого из слагаемых СП в отдельности

Доказательство:





.