Теория электрической связи (I)


             

Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив


 

Линейные пространства

Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.

Линейным пространством L над полем F называют множество элементов
, называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов)
 и умножение векторов на элементы?? из поля F (называемые скалярами)
. Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства.

1.     Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:

    
,

    
.

2.     Свойства сложения:

    
     
             ассоциативность,

    
                                   
коммутативность.

3.  Свойства умножения на скаляр:

    
                ассоциативность,

    
      дистрибутивность суммы векторов,

    
       дистрибутивность суммы скаляров.

4. 
       существование нулевого вектора.

5. 
 существование проти-

                                                               воположного вектора.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами

,

называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть,  что множество всех линейных комбинаций векторов
при разных ai  (не затрагивая
) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов
.

Множество векторов называют линейно независимыми, если равенство



возможно лишь при всех ai = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные  вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми.

Система линейно независимых и ненулевых векторов
 образует в пространстве L базис, если

.

Этот единственный набор скаляров {ai}, соответствующий конкретному вектору
, называют его координатами (проекциями) по базису
.


Содержание  Назад  Вперед