Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив

Линейные пространства

Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.

Линейным пространством L над полем F называют множество элементов

, называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов)

и умножение векторов на элементы?? из поля F (называемые скалярами)

. Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства.

1. Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:

.

2.     Свойства сложения:


                  ассоциативность,


                                   коммутативность.

3. Свойства умножения на скаляр:

ассоциативность,

дистрибутивность суммы векторов,

дистрибутивность суммы скаляров.

4.

существование нулевого вектора.

5.

существование проти-

воположного вектора.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами

,

называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов

при разных ai (не затрагивая

) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов

.

Множество векторов называют линейно независимыми, если равенство

возможно лишь при всех ai = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми.

Система линейно независимых и ненулевых векторов

образует в пространстве L базис, если

.

Этот единственный набор скаляров {ai}, соответствующий конкретному вектору

, называют его координатами (проекциями) по базису

.

Содержание Назад Вперед