Теория электрической связи - стр. 10

 

Линейные пространства

Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.

Линейным пространством L над полем F называют множество элементов

, называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов)  и умножение векторов на элементы?? из поля F (называемые скалярами) . Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства.

1.     Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:

    

,

    

.

2.     Свойства сложения:

    

                  ассоциативность,

    

                                   коммутативность.

3.  Свойства умножения на скаляр:

    

                ассоциативность,

    

      дистрибутивность суммы векторов,

    

       дистрибутивность суммы скаляров.

4. 

       существование нулевого вектора.

5. 

 существование проти-

                                                               воположного вектора.

 

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами

,

называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть,  что множество всех линейных комбинаций векторов

при разных ai  (не затрагивая ) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов .

Множество векторов называют линейно независимыми, если равенство

возможно лишь при всех ai = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные  вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми.

Система линейно независимых и ненулевых векторов

 образует в пространстве L базис, если

.

Этот единственный набор скаляров {ai}, соответствующий конкретному вектору

, называют его координатами (проекциями) по базису .

Начало  Назад  Вперед